Критерий Коши существования предела функции в точке

$$\exists{\lim_{x \to a} f(x)} \iff \forall{\varepsilon > 0}\mathpunct{:}~~ \exists{\delta}\mathpunct{:}~~ \forall{x', x''}~~ \begin{cases} 0 < |x'-a| < \delta \\ 0 < |x''-a| < \delta \end{cases} \Rightarrow |f(x') - f(x'')| < \varepsilon$$

$\Large{\implies}$ Пусть $\lim_{x \to a} f(x) = A$, тогда: $$|f(x') - f(x'')| = |f(x') - A + A - f(x'')| \leq |f(x') - A| + |f(x'') - A| < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$ $\Large{\impliedby}$ Рассмотрим следующую последовательность: $$\underbrace{ \{x_{n}\} }_{ \forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{N(\varepsilon)}} \neq \{a\}\mathpunct{:}~~ x_{n} \to a \Rightarrow \underbrace{ |x_{n} - a| < \delta \land |x_{m} - a| < \delta }_{ \forall{n,m > N(\varepsilon)}}$$ Тогда получаем, что $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{N(\varepsilon)}~~ \forall{n,m > N(\varepsilon)}~~ |f(x_{n}) - f(x_{m})| < \varepsilon$$ Получаем, что $\{f(x_{n})\}$ - фундаментальная последовательность, а значит по критерию Коши: $f(x_{n}) \to A$ Пусть $y_{n} \to a$. Проведём аналогичные действия и получим: $f(y_{n}) \to B$ Рассмотрим $\{t_{n}\}\mathpunct{:}~ x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2},\dots \to a$. Вновь проведём действия и получим: $f(t_{n}) \to C$ Но так как $f(t_{n}) \to C$, то и $$\lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = \lim_{x \to \infty} f(y_{n}) = A = B = C$$ А значит по Гейне: $\exists{\lim_{x \to a} } f(x)~~~\square$